Details werden in PAUL unter L.105.33908 bekannt gegeben.

Ziel der Veranstaltung

In diesem Seminar erhalten Sie einen Überblick über interessante Phänomene, die im Umfeld von dynamischen Systemen auftreten, sowie über Methoden zu deren numerischer Untersuchung.

Inhalte

In diesem Seminar widmen wir uns dynamischen Systemen sowie deren numerischer Behandlung. Dynamische Systeme über einer diskreten Zeitvariable entstehen durch Iteration einer Funktion. In kontinuierlicher Zeit werden dynamische Systeme als Lösungen von (gewöhnlichen) Differentialgleichungen erzeugt. Wir erkunden beispielhaft diverse spannende Phänomene, die in derartigen Systemen auftreten können. Diese reichen von allgemeinen, theoretischen Erkenntnissen bis zu komplexem Verhalten von expliziten Beispielsystemen. Mögliche Themen für Vorträge sind z.B. die folgenden:

• Lineare Differentialgleichungen
• Gleichgewichte in nichtlinearen Differentialgleichungen
• Hamilton-Systeme
• Dynamik in der Ebene
• Diskrete Dynamik auf dem Kreis
• Diskrete Dynamische Systeme
• Satz von Sarkovskii
• Chaos im Lorenz-System
• Synchronisation von gekoppelten Oszillatoren
• Identifikation von Gleichungen aus Daten
• Fixpunktiteration für nichtlineare Gleichungen
• Numerik für Eigenwertprobleme
• Pfadverfolgungsverfahren
• Explizite Runge-Kutta-Verfahren
• (Extended) Dynamic Mode Decomposition
• Berechnung von Attraktoren
• Katastrophentheorie

Informationen zur Leistungserbringung

Ihre Seminarleistung besteht aus einem Vortrag von ca. 60 min Länge, der Abgabe einer schriftlichen Ausarbeitung zu Ihrem Thema sowie der aktiven Teilnahme am Austausch über die Vorträge der anderen.

Literatur

Die empfohlene Literatur für jeden Vortrag wird je nach gewähltem Thema in der ersten Veranstaltung bekannt gegeben. Diese wird voraussichtlich aus den folgenden Quellen ausgewählt:

• E. Allgower, K. Georg: Numerical Continuation Methods: An Introduction; Springer 1990
• M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos; Elsevier 2013
• J. Guckenheimer, P. Holmes: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcation of Vector Fields; Springer 1983
• S.L. Brunton, J.L. Proctor, J.N. Kutz: Discovering governing equations from data: Sparse identification of nonlinear dynamical systems; PNAS 113(15), 3932-3937.
• Katok, A. and Hasselblatt, B., Introduction to the modern theory of dynamical systems; Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
• Brin, M. and Stuck, G., Introduction to dynamical systems, Camb. Univ. Press, Cambridge, 2002.
• Devaney, R.L. (2021). An Introduction To Chaotic Dynamical Systems (3rd ed.). Chapman and Hall/CRC.
• H-R. Schwarz, N. Köckler. Numerische Mathematik. Springer-Verlag, 2013.
• Ernst Hairer, Christian Lubich, and Gerhard Wanner. Geometric Numerical Integration - Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations.; Springer, 2002.
• L. Grüne, O.Junge: Gewöhnliche Differentialgleichungen – Eine Einführung aus der Perspektive der Dynamischen Systeme; Vieweg 2009
• Williams, M.O., Kevrekidis, I.G. & Rowley, C.W. A Data–Driven Approximation of the Koopman Operator: Extending Dynamic Mode Decomposition. J Nonlinear Sci 25, 1307–1346 (2015).
• M. Dellnitz, A. Hohmann: A subdivision algorithm for the computation of unstable manifolds and global attractors; Numerische Mathematik 75, 293-317, 1997
• M. Dellnitz, M. Hessel-von Molo, A. Ziessler: On the computation of attractors for delay differential equations; Journal of Computational Dynamics 3(1), 93-112, 2016 oder auch arXiv: 1508.07182
• Hiroya Nakao (2017). “Phase reduction approach to synchronization of nonlinear oscillators”. Contemporary Physics. 57 (2): 188–214. arXiv:1704.03293. doi:10.1080/00107514.2015.1094987
• Hermann, Martin: Numerische Mathematik (2., überarbeitete Auflage), Oldenburg Verlag, 2006.
• Werner, Jochen: Numerische Mathematik 1 + 2, Vieweg, 1992.
• P. T. Saunders, An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1980.

Voraussetzungen

Die Veranstaltung kann gut aufbauend zu „Numerik I“ besucht werden. Diese Inhalte werden jedoch nicht vorausgesetzt, es werden auch Themen vergeben, die unabhängig von den Inhalten der „Numerik I“ sind.

Zielgruppe

M. Sc./B. Sc. (Techno-)Mathematik M. Sc. Lehramt Mathematik

Kommentar

Die Sprache der Veranstaltung ist Deutsch. Die Literatur ist jedoch teilweise nur auf Englisch verfügbar. Wenn alle Teilnehmenden einverstanden sind, dürfen zudem Vorträge auch auf Englisch gehalten werden.

Ergänzende Veranstaltungen

Das Seminar eignet sich gut als Ergänzung zu den Inhalten der Vorlesung „Dynamische Systeme“, die ebenfalls im Wintersemester angeboten wird.

Wichtige Hinweise

Beim ersten Seminartermin werden die angebotenen Themen kurz vorgestellt und anschließend verteilt. Seien Sie daher bei diesem Termin bitte unbedingt anwesend.

In der zweiten Vorlesungswoche wird das Seminar nicht stattfinden. Stattdessen starten wir (frühestens) in der dritten Vorlesungswoche mit den Vorträgen, um auch der ersten Gruppe ausreichend Zeit für die Vorbereitung zu ermöglichen.